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      中小學資料試題

      《追及與相遇問題》基礎知識歸納

      深圳家教基礎知識歸納
      1.追及和相遇問題
      當兩個物體在同一直線上運動時,由于兩物體的運動情況不同,所以兩物體之間的距離會不斷發生變化,兩物體間距會越來越大或越來越小,這時就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題.
      2.追及問題的兩類情況
      (1)速度大者減速(如勻減速直線運動)追速度小者(如勻速運動):
      ①當兩者速度相等時,若兩者位移之差仍小于初始時的距離,則永遠追不上,此時兩者間有 最小 距離.
      ②若兩者位移之差等于初始時的距離,且兩者速度相等時,則恰能追上,也是兩者相遇時 避免碰撞 的臨界條件.
      ③若兩者位移之差等于初始時的距離時,追者速度仍大于被追者的速度,則被追者還有一次追上追者的機會,其間速度相等時兩者間距離有 一個極大 值.
      (2)速度小者加速(如初速度為零的勻加速直線運動)追速度大者(如勻速運動):
      ①當兩者速度相等時有 最大距離 .
      ②若兩者位移之差等于初始時的距離時,則追上.
      3.相遇問題的常見情況
      (1)同向運動的兩物體追及即相遇.
      (2)相向運動的物體,當各自發生的位移大小和等于開始時兩物體的距離時即相遇.
      重點難點突破
      一、追及和相遇問題的常見情形
      1.速度小者追速度大者常見的幾種情況:
      類型
      圖象
      說明
      勻加速追勻速
      tt0以前,后面物體與前面物體間距離增大
      tt0時,兩物體相距最遠為x0+Δx
      tt0以后,后面物體與前面物體間距離減小
      ④能追及且只能相遇一次
      注:x0為開始時兩物體間的距離
      勻速追勻減速
      勻加速追勻減速 
      2.速度大者追速度小者常見的情形:
      類型
      圖象
      說明
      勻減速追勻速
      開始追及時,后面物體與前面物體間距離在減小,當兩物體速度相等時,即tt0時刻:
      ①若Δxx0,則恰能追及,兩物體只能相遇一次,這也是避免相撞的臨界條件
      ②若Δx<x0,則不能追及,此時兩物體間最小距離為x0-Δx
      ③若Δx>x0,則相遇兩次,設t1時刻Δx1x0兩物體第一次相遇,則t2時刻兩物體第二次相遇
      注:x0是開始時兩物體間的距離
      勻速追勻加速
      勻減速追勻加速 
      二、追及、相遇問題的求解方法
      分析追及與相遇問題大致有兩種方法,即數學方法和物理方法,具體為:
      方法1:利用臨界條件求解.尋找問題中隱含的臨界條件,例如速度小者加速追趕速度大者,在兩物體速度相等時有最大距離;速度大者減速追趕速度小者,在兩物體速度相等時有最小距離.
      方法2:利用函數方程求解.利用不等式求解,思路有二:其一是先求出在任意時刻t兩物體間的距離yf(t),若對任何t,均存在yf(t)>0,則這兩個物體永遠不能相遇;若存在某個時刻t,使得yf(t)≤0,則這兩個物體可能相遇.其二是設在t時刻兩物體相遇,然后根據幾何關系列出關于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0無正實數解,則說明這兩物體不可能相遇;若方程f(t)=0存在正實數解,則說明這兩個物體可能相遇.
      方法3:利用圖象求解.若用位移圖象求解,分別作出兩個物體的位移圖象,如果兩個物體的位移圖象相交,則說明兩物體相遇;若用速度圖象求解,則注意比較速度圖線與t軸包圍的面積.
      方法4:利用相對運動求解.用相對運動的知識求解追及或相遇問題時,要注意將兩個物體對地的物理量(速度、加速度和位移)轉化為相對的物理量.在追及問題中,常把被追及物體作為參考系,這樣追趕物體相對被追物體的各物理量即可表示為:s相對sss0,v相對
      vv,a相對aa,且上式中各物理量(矢量)的符號都應以統一的正方向進行確定.
      三、分析追及、相遇問題的思路和應注意的問題
      1.解“追及”、“相遇”問題的思路
      (1)根據對兩物體運動過程的分析,畫出物體的運動示意圖.
      (2)根據兩物體的運動性質,分別列出兩物體的位移方程.注意要將兩物體運動時間的關系反映在方程中.
      (3)由運動示意圖找出兩物體位移間的關聯方程.
      (4)聯立方程求解.
      2.分析“追及”、“相遇”問題應注意的幾點
      (1)分析“追及”、“相遇”問題時,一定要抓住“一個條件,兩個關系”:
      “一個條件”是兩物體的速度滿足的臨界條件,如兩物體距離最大、最小、恰好追上或恰好追不上等.
      “兩個關系”是時間關系和位移關系.其中通過畫草圖找到兩物體位移之間的數量關系,是解題的突破口.因此,在學習中一定要養成畫草圖分析問題的良好習慣,因為正確的草圖對幫助我們理解題意、啟迪思維大有裨益.
      (2)若被追趕的物體做勻減速運動,一定要注意追上該物體前是否停止運動.
      (3)仔細審題,注意抓住題目中的關鍵字眼,充分挖掘題目中的隱含條件,如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等,往往對應一個臨界狀態,要滿足相應的臨界條件.
      典例精析
      1.運動中的追及和相遇問題
      【例1】在一條平直的公路上,乙車以10 m/s的速度勻速行駛,甲車在乙車的后面做初速度為15 m/s,加速度大小為0.5 m/s2的勻減速運動,則兩車初始距離L滿足什么條件時可以使(1)兩車不相遇;(2)兩車只相遇一次;(3)兩車能相遇兩次(設兩車相遇時互不影響各自的運動).
      【解析】設兩車速度相等經歷的時間為t,則甲車恰能追上乙車時,應有
      vt- =vtL
      其中t= ,解得L=25 m
      L>25 m,則兩車等速時也未追及,以后間距會逐漸增大,即兩車不相遇.
      L=25 m,則兩車等速時恰好追及,兩車只相遇一次,以后間距會逐漸增大.
      L<25 m,則兩車等速時,甲車已運動至乙車前面,以后還能再次相遇,即能相遇兩次.
      【思維提升】對于追及和相遇問題的處理,要通過兩質點的速度進行比較分析,找到隱含條件(即速度相同時,兩質點間距離最大或最小),再結合兩個運動的時間關系、位移關系建立相應方程求解.
      【拓展1】兩輛游戲賽車a、b在兩條平行的直車道上行駛.t=0時兩車都在同一計時處,此時比賽開始.它們在四次比賽中的v-t圖象如圖所示.哪些圖對應的比賽中,有一輛賽車追上另一輛                                                                    ( AC )
      【解析】由v-t圖象的特點可知,圖線與t軸所圍成面積的大小,即為物體位移的大小.觀察4個圖象,只有A、C選項中,a、b所圍面積的大小有相等的時刻,故A、C正確.
      2.追及、相遇問題的求解
      【例2】在水平軌道上有兩列火車AB相距s,A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動,而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動,兩車運動方向相同.要使兩車不相撞,求A車的初速度v0應滿足什么條件?
      【解析】解法一:(物理分析法)A、B車的運動過程(如圖所示)利用位移公式、速度公式求解.
      A車有sAv0t+ ×(-2at2
      vAv0+(-2at
      B車有sBat2,vBat
      兩車有ssAsB
      追上時,兩車不相撞的臨界條件是vAvB
      聯立以上各式解得v0
      故要使兩車不相撞,A車的初速度v0應滿足的條件是v0
      解法二:(極值法)利用判別式求解,由解法一可知sAssB,即v0t+ ×(-2at2sat2
      整理得3at2-2v0t+2s=0
      這是一個關于時間t的一元二次方程,當根的判別式Δ=(2v0)2-4×3a×2s<0時,t無實數解,即兩車不相撞,所以要使兩車不相撞,A車的初速度v0應滿足的條件是v0
      解法三:(圖象法)利用速度—時間圖象求解,先作A、B兩車的速度—時間圖象,其圖象如圖所示,設經過t時間兩車剛好不相撞,則對A車有vAvv0-2at
      B車有vBvat
      以上兩式聯立解得t
      t時間兩車發生的位移之差,即為原來兩車間的距離s,它可用圖中的陰影面積表示,由圖象可知
      sv0•tv0
      所以要使兩車不相撞,A車的初速度v0應滿足的條件是v0
      【思維提升】三種解法中,解法一注重對運動過程的分析,抓住兩車間距有極值時速度應相等這一關鍵條件來求解;解法二中由位移關系得到一元二次方程,然后利用根的判別式來確定方程中各系數間的關系,這也是中學物理中常用的數學方法;解法三通過圖象不僅將兩物體運動情況直觀、形象地表示出來,也可以將位移情況顯示,從而快速解答.
      【拓展2】從地面上以初速度2v0豎直上拋物體A,相隔Δt時間后再以初速度v0豎直上拋物體B.要使A、B在空中相遇,Δt應滿足什么條件?
      【解析】A、B兩物體都做豎直上拋運動,由sv0tgt2作出它們的s-t圖象,如圖所示.顯然,兩圖線的交點表示A、B相遇(sAsB).
      由圖象可看出Δt滿足關系式 時,A、B在空中相遇.
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      3.分析追及、相遇問題的思路
      【例3】現檢測汽車A的制動性能:以標準速度20 m/s在平直公路上行駛時,制動后40 s停下來.若A在平直公路上以20 m/s的速度行駛時發現前方180 m處有一貨車B以6 m/s 的速度同向勻速行駛,司機立即制動,能否發生撞車事故?
      【錯解】設汽車A制動后40 s的位移為x1,貨車B在這段時間內的位移為x2.
      a= 得車的加速度a=-0.5 m/s2
      x1v0tat2
      x1=20×40 m+ ×(-0.5)×402 m=400 m
      x2v2t=6×40 m=240 m
      兩車位移差為400 m-240 m=160 m
      因為兩車剛開始相距180 m>160 m
      所以兩車不相撞.
      【錯因】這是典型的追及問題.關鍵是要弄清不相撞的條件.汽車A與貨車B同速時,兩車位移差和初始時刻兩車距離關系是判斷兩車能否相撞的依據.當兩車同速時,兩車位移差大于初始時刻的距離時,兩車相撞;小于、等于時,則不相撞.而錯解中的判據條件錯誤導致錯解.
      【正解】如圖,汽車Av0=20 m/s的初速度做勻減速直線運動經40 s停下來.據加速度公式可求出a=-0.5 m/s2.當A車減為與B車同速時,是A車逼近B車距離最多的時刻,這時若能超過B車則相撞,反之則不能相撞.
       
      v2- =2ax可求出A車減為與B車同速時的位移
      x1= m=364 m
      此時間tB車的位移為x2,則t= s=28 s
      x2v2t=6×28 m=168 m
      Δx=364 m-168 m=196 m>180 m
      所以兩車相撞.
      【思維提升】分析追及問題應把兩物體的位置關系圖(如解析中圖)畫好.通過此圖理解物理情景.本題也可以借助圖象幫助理解,如圖所示,陰影區是A車比B車多通過的最大距離,這段距離若能大于兩車初始時刻的距離則兩車必相撞.小于、等于則不相撞.從圖中也可以看出A車速度成為零時,不是A車比B車多走距離最大的時刻,因此不能作為臨界條件分析.

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      本文發表于: 2010/10/3   被閱:5602次

       

       
       


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